Какая формула Ньютона?

В математике существует несколько формул, связанных с именем Исаака Ньютона. Узнайте, что такое формула Ньютона-Лейбница и как она является основой интегрального исчисления. Доказательство и применение формулы. Изучите также формулы Ньютона-Котса, использование которых позволяет эффективно решать задачи численного интегрирования и вычисления площадей под графиками функций. - NOCFN

В математике существует несколько формул, связанных с именем Исаака Ньютона. Одна из таких формул - формула Ньютона-Лейбница, которая является основной формулой интегрального исчисления.

Доказательство

Пусть на отрезке [a, b] задана интегрируемая функция f. Зададим произвольное значение x ∈ [a, b] и определим новую функцию F(x) = ∫[a, x] f(t) dt. Она определена для всех значений x ∈ [a, b], потому что мы знаем, что если существует интеграл от f на [a, b], то существует также интеграл от f на [a, x], где a ≤ x ≤ b. Напомним, что мы считаем по определению F(a) = ∫[a, a] f(t) dt = 0 (1)

Заметим, что F(b) = ∫[a, b] f(t) dt.

Покажем, что F непрерывна на отрезке [a, b]. В самом деле, пусть x, x + h ∈ [a, b]; тогда F(x + h) - F(x) = ∫[a, x + h] f(t) dt - ∫[a, x] f(t) dt = ∫[x, x + h] f(t) dt. И если K = sup|f(t)|, a ≤ t ≤ b, то |F(x + h) - F(x)| ≤ |∫[x, x + h] f(t) dt| ≤ K|h| → 0, h → 0.

Таким образом, F непрерывна на [a, b] независимо от того, имеет или не имеет f разрывы; важно, что f интегрируема на [a, b].

Пусть теперь функция f не только интегрируема на [a, x], но непрерывна в точке x ∈ [a, x]. Докажем, что тогда F имеет в этой точке производную, равную F'(x) = f(x) (2)

В самом деле, для указанной точки x

F(x + h) - F(x) = (1/h)∫[x, x + h] f(t) dt = (1/h)∫[x, x + h] (f(x) + η(t)) dt

= (1/h)∫[x, x + h] f(x) dt + (1/h)∫[x, x + h] η(t) dt = f(x) + o(1), h → 0 (3)

Мы положили f(t) = f(x) + η(t), а так как f(x) постоянная относительно t, то

Формулы Ньютона-Котса

Формулы Ньютона-Котса, также известные как правила квадратуры Ньютона-Котса, являются группой формул для численного интегрирования, основанных на вычислении интегрируемой функции в одинаково отстоящих друг от друга точках. Эти формулы были разработаны Исааком Ньютоном и Роджером Котсом.

Формулы Ньютона-Котса особенно полезны, когда заданы значения интегрируемой функции на точках, отстоящих друг от друга на одинаковом расстоянии. Если есть возможность изменять положение точек, могут быть использованы и другие методы, такие как метод Гаусса и квадратурный метод Кленшоу-Кёртиса.

Заключение

Формула Ньютона-Лейбница является основной формулой интегрального исчисления и позволяет вычислять определенные интегралы через значения первообразной функции. Формулы Ньютона-Котса, в свою очередь, представляют собой группу формул для численного интегрирования, основанных на вычислении значения интегрируемой функции в одинаково отстоящих точках.

Использование данных формул позволяет эффективно решать задачи, связанные с численным интегрированием и вычислением площадей под графиками функций.

Что нам скажет Википедия?

Пусть на отрезке [a, b] задана интегрируемая функция f. Зададим произвольное значение x ∈ [a, b] и определим новую функцию F(x) = ∫[a, x] f(t) dt. Она определена для всех значений x ∈ [a, b], потому что мы знаем, что если существует интеграл от f на [a, b], то существует также интеграл от f на [a, x], где a ≤ x ≤ b. Напомним, что мы считаем по определению F(a) = ∫[a, a] f(t) dt = 0 (1)

Заметим, что F(b) = ∫[a, b] f(t) dt.

Покажем, что F непрерывна на отрезке [a, b]. В самом деле, пусть x, x + h ∈ [a, b]; тогда F(x + h) - F(x) = ∫[a, x + h] f(t) dt - ∫[a, x] f(t) dt = ∫[x, x + h] f(t) dt. И если K = sup|f(t)|, a ≤ t ≤ b, то |F(x + h) - F(x)| ≤ |∫[x, x + h] f(t) dt| ≤ K|h| → 0, h → 0.

Таким образом, F непрерывна на [a, b] независимо от того, имеет или не имеет f разрывы; важно, что f интегрируема на [a, b].

На рисунке изображён график. Площадь переменной фигуры. Её приращение равно площади фигуры, которая в силу ограниченности, очевидно, стремится к нулю при независимо от того, будет ли точкой непрерывности или разрыва, например точкой.

Пусть теперь функция f не только интегрируема на [a, x], но непрерывна в точке x ∈ [a, x]. Докажем, что тогда F имеет в этой точке производную, равную F'(x) = f(x) (2)

В самом деле, для указанной точки x

F(x + h) - F(x) = (1/h)∫[x, x + h] f(t) dt = (1/h)∫[x, x + h] (f(x) + η(t)) dt

= (1/h)∫[x, x + h] f(x) dt + (1/h)∫[x, x + h] η(t) dt = f(x) + o(1), h → 0 (3)

Мы положили f(t) = f(x) + η(t), а так как f(x) постоянная относительно t, то