Формула Ньютона-Лейбница, также известная как фундаментальная теорема анализа, является одной из ключевых концепций в математическом анализе. Она устанавливает связь между интегралом функции и её первообразной. Узнайте о споре Ньютона и Лейбница о приоритете создания этой формулы. - NOCFN
Формула Ньютона-Лейбница, также известная как фундаментальная теорема анализа, является одной из ключевых концепций в математическом анализе. Она устанавливает связь между интегралом функции и её первообразной. Вопрос о создателе этой формулы является предметом долгих дискуссий и споров.
Доказательство
Пусть на отрезке [a, b] задана интегрируемая функция f. Зададим произвольное значение x ∈ [a, b] и определим новую функцию F(x) = ∫axf(t) dt. Она определена для всех значений x ∈ [a, b], потому что мы знаем, что если существует интеграл от f на [a, b], то существует также интеграл от f на [a, x], где a ≤ x ≤ b. Напомним, что мы считаем по определению F(a) = ∫aaf(t) dt = 0.
Покажем, что F непрерывна на отрезке [a, b]. В самом деле, пусть x, x + h ∈ [a, b]; тогда F(x + h) - F(x) = ∫a(x + h)f(t) dt - ∫axf(t) dt = ∫x(x + h)f(t) dt. И если K = sup|f(t)|, a ≤ t ≤ b, то |F(x + h) - F(x)| ≤ |∫x(x + h)f(t) dt| ≤ K|h| → 0, h → 0.
Таким образом, F непрерывна на [a, b] независимо от того, имеет или не имеет f разрывы; важно, что f интегрируема на [a, b].
Пусть теперь функция f не только интегрируема на [a, x], но непрерывна в точке x ∈ [a, x]. Докажем, что тогда F имеет в этой точке производную, равную F'(x) = f(x).
Спор Ньютона и Лейбница о приоритете
Спор о приоритете открытия дифференциального и интегрального исчисления между Исааком Ньютоном (1642—1727) и Готфридом Вильгельмом Лейбницем (1646—1716) является известным историческим фактом. Ньютон разработал свою версию теории ещё в 1665—1666 годах, но не опубликовал её до 1704 года. Лейбниц же разработал свой вариант дифференциального и интегрального исчисления с 1675 года, однако первоначальная идея, вероятно, возникла из слухов о работах Ньютона. Оба ученых разработали свои версии независимо друг от друга.
Спор о приоритете Ньютона и Лейбница продолжался долгое время, включая период после смерти обоих ученых. Историки математики пришли к выводу, что Ньютон и Лейбниц совершили свои открытия независимо друг от друга. Однако они также отмечают, что решающую роль в возникновении математического анализа сыграл Исаак Барроу, учитель Ньютона, чьи работы были известны и Лейбницу.
Таким образом, формула Ньютона-Лейбница является результатом совместных усилий нескольких ученых, независимо от вопроса о приоритете. Её открытие имеет огромное значение в математике и науке в целом.
См. также
Что нам скажет Википедия?
Пусть на отрезке [a, b] задана интегрируемая функция f. Зададим произвольное значение x ∈ [a, b] и определим новую функцию F(x) = ∫axf(t) dt. Она определена для всех значений x ∈ [a, b], потому что мы знаем, что если существует интеграл от f на [a, b], то существует также интеграл от f на [a, x], где a ≤ x ≤ b. Напомним, что мы считаем по определению F(a) = ∫aaf(t) dt = 0.
Покажем, что F непрерывна на отрезке [a, b]. В самом деле, пусть x, x + h ∈ [a, b]; тогда F(x + h) - F(x) = ∫a(x + h)f(t) dt - ∫axf(t) dt = ∫x(x + h)f(t) dt. И если K = sup|f(t)|, a ≤ t ≤ b, то |F(x + h) - F(x)| ≤ |∫x(x + h)f(t) dt| ≤ K|h| → 0, h → 0.
Таким образом, F непрерывна на [a, b] независимо от того, имеет или не имеет f разрывы; важно, что f интегрируема на [a, b].
Пусть теперь функция f не только интегрируема на [a, x], но непрерывна в точке x ∈ [a, x]. Докажем, что тогда F имеет в этой точке производную, равную F'(x) = f(x).
