Знак интеграла

Интеграл является одним из важнейших понятий математического анализа. Узнайте, что такое интеграл функции одной переменной, неопределенный и определенный интегралы. Используйте интегралы для решения задач, связанных с вычислением площади и определением пути и скорости изменения. Узнайте свойства и особенности знака интеграла.

Интегра́л (от лат. integer — букв. целый) — одно из важнейших понятий математического анализа, которое возникает при решении задач:

Интеграл функции одной переменной

Неопределённый интеграл

Пусть дана функция действительной переменной f(x). Неопределённым интегралом функции f(x), или её первообразной, называется такая функция F(x), производная которой равна f(x), то есть F'(x)=f(x). Обозначается это так:

∫ f(x) dx

В этой записи ∫ — знак интеграла, f(x) называется подынтегральной функцией, а dx — элементом интегрирования.

Операция нахождения интеграла называется интегрированием. Операции интегрирования и дифференцирования обратны друг другу.

Определённый интеграл

Понятие определённого интеграла возникает в связи с задачей о нахождении площади криволинейной трапеции, нахождении пути по известной скорости при неравномерном движении и т.п.

Если существует, независимо от выбора точек разбиения отрезка и точек ξi, предел суммы при стремлении длин всех отрезков к нулю, то такой предел называется определённым интегралом (в смысле Римана) от функции f(x) по отрезку [a; b] и обозначается:

∫_a^b f(x) dx

Традиционно интеграл от функции f(x) на отрезке [a; b] обозначается так:

∫_a^b f(x) dx

Эта традиция имеет исторические корни. Интегральные суммы, с помощью которых приближенно вычисляется интеграл, составляются из слагаемых вида:

Δx_i • f(ξ_i)

Приближенное равенство:

∑[i=1 to n] Δx_i • f(ξ_i) ≈ ∫_a^b f(x) dx

может быть заменено точным равенством дифференциалов:

∑[i=1 to n] f(ξ_i) Δx_i = ∫_a^b f(x) dx

Интеграл можно представить как сумму «бесконечного числа дифференциалов». Знак интеграла:

∫

и есть стилизованная запись буквы S – первой буквы слова «сумма» на латинском языке.

Напоминаем, что площадь S можно получить суммированием слагаемых вида ΔS = f(x) Δx. Около знака интеграла ставят пределы интегрирования – концы отрезка [a; b], на котором задана функция f.

Переменная площадь S запишется как площадь подграфика функции f на отрезке [a; b], т.е. в виде интеграла с переменным верхним пределом:

S = ∫_a^x f(t) dt

Связь между функциями f и S, установленную в теореме о скорости роста площади, можно записать так:

S = ∫_a^b f(x) dx

Определение интеграла нетрудно распространить на произвольную функцию f, отказавшись от требования ее положительности. Рассмотрим произвольную функцию, заданную на отрезке [a; b] и ее подграфик, т.е. часть плоскости, ограниченную графиком f, прямыми x = a и x = b, и осью абсцисс. Этот подграфик состоит из частей, лежащих выше оси абсцисс и ниже нее. Условимся брать площади первых из них со знаком «+», а вторые – со знаком «–». По определению интегралом от функции f будем называть сумму площадей частей ее подграфика, взятых с указанными знаками.

Пример

Рассмотрим функцию f(x) = x^2 на отрезке [0; 1]. Найдем площадь подграфика этой функции:

S = ∫₀¹ x^2 dx

Используя формулу для интеграла квадратной функции, получаем:

S = [x^3/3]₀¹ = 1/3

Таким образом, площадь подграфика функции f(x) = x^2 на отрезке [0; 1] равна 1/3.

Заключение

Знак интеграла играет важную роль в математическом анализе. Он позволяет определить неопределенный и определенный интегралы функции. Интеграл является мощным инструментом для решения различных задач, связанных с вычислением площадей, определением пути и скорости изменения величин. Понимание знака интеграла и его свойств позволяет математикам и инженерам решать сложные задачи и получать точные результаты.

Что нам скажет Википедия?

В этой записи ∫ — знак интеграла, f(x) называется подынтегральной функцией, а dx — элементом интегрирования.

Интеграл функции одной переменной:

Неопределённый интеграл:

Пусть дана f(x) — функция действительной переменной. Неопределённым интегралом функции f(x), или её первообразной, называется такая функция F(x), производная которой равна f(x), то есть F'(x)=f(x). Обозначается это так:

В этой записи ∫ — знак интеграла, f(x) называется подынтегральной функцией, а dx — элементом интегрирования.

Операция нахождения интеграла называется интегрированием. Операции интегрирования и дифференцирования обратны друг другу.

Определённый интеграл:

Понятие определённого интеграла возникает в связи с задачей о нахождении площади криволинейной трапеции, нахождении пути по известной скорости при неравномерном движении и т.п.

Если существует, независимо от выбора точек разбиения отрезка и точек ξi, предел суммы при стремлении длин всех отрезков к нулю, то такой предел называется определённым интегралом (в смысле Римана) от функции f(x) по отрезку [a; b] и обозначается