Как звучит формула Ньютона Лейбница?

Формула Ньютона-Лейбница - это основная формула интегрального исчисления, которая устанавливает связь между операциями взятия определенного интеграла и вычисления первообразной функции. Эта формула позволяет точно вычислять интегралы и имеет широкое применение в различных областях науки и техники. Узнайте, как звучит формула Ньютона Лейбница и как ее применять в практических задачах. На форуме NOCFN вы можете получить помощь и ответы на ваши вопросы о формуле Ньютона-Лейбница.

Формула Ньютона-Лейбница - это основная формула интегрального исчисления, которая устанавливает связь между операциями взятия определенного интеграла и вычисления первообразной функции. Эта формула позволяет точно вычислять интегралы и имеет широкое применение в различных областях науки и техники.

Доказательство

Пусть на отрезке [a, b] задана интегрируемая функция f. Зададим произвольное значение x ∈ [a, b] и определим новую функцию F(x) = ∫_a^xf(t)dt. Она определена для всех значений x ∈ [a, b], потому что мы знаем, что если существует интеграл от f на [a, b], то существует также интеграл от f на [a, x], где a ≤ x ≤ b. Напомним, что мы считаем по определению F(a) = ∫_a^af(t)dt = 0 (1).

Заметим, что F(b) = ∫_a^bf(t)dt.

Покажем, что F непрерывна на отрезке [a, b]. В самом деле, пусть x, x + h ∈ [a, b]; тогда F(x + h) − F(x) = ∫_a^(x+h)f(t)dt − ∫_a^xf(t)dt = ∫_x^(x+h)f(t)dt.

На рисунке изображён график. Площадь переменной фигуры. Её приращение равно площади фигуры, которая в силу ограниченности, очевидно, стремится к нулю при, независимо от того, будет ли точкой непрерывности или разрыва, например точкой.

Пусть теперь функция f не только интегрируема на [a, x], но непрерывна в точке x ∈ [a, x]. Докажем, что тогда F имеет в этой точке производную, равную F'(x) = f(x) (2).

В самом деле, для указанной точки x:

F(x + h) − F(x) = ∫_x^(x+h)f(t)dt = ∫_x^(x+h)(f(x) + η(t))dt = ∫_x^(x+h)f(x)dt + ∫_x^(x+h)η(t)dt = f(x) + o, h → 0 (3)

Мы положили f(t) = f(x) + η(t), а так как f(x) постоянная относительно t, то ∫_x^(x+h)f(t)dt = f(x) + o.

Применение формулы Ньютона-Лейбница

Формула Ньютона-Лейбница широко используется в естественных науках, технике, экономике и других областях. Она позволяет решать множество практических задач, связанных с вычислением определенных интегралов. Для вычисления определенного интеграла необходимо найти первообразную функции f(x) и вычислить ее значения в верхней и нижней границах интегрирования, а затем найти их разность.

Например, формула Ньютона-Лейбница применяется для вычисления площадей криволинейных фигур, определения работы постоянной силы, расчета среднего значения функции и других задач.

История открытия формулы Ньютона-Лейбница

Формулу Ньютона-Лейбница открыли независимо друг от друга два великих математика - Исаак Ньютон и Готфрид Вильгельм Лейбниц в конце 17 века. Это было величайшее математическое открытие, которое навсегда изменило естествознание и привело к развитию математики и естественных наук.

Долгое время Ньютон держал формулу в секрете, но Лейбниц независимо вывел ту же формулу и опубликовал ее, что способствовало ее быстрому распространению и известности. Формула Ньютона-Лейбница стала одной из фундаментальных теорем математического анализа и нашла широкое применение в различных областях науки и техники.

Интересные факты о формуле Ньютона-Лейбница

Вокруг формулы Ньютона-Лейбница сложилось много легенд и анекдотов. Это одно из самых известных математических открытий. Один из интересных фактов - Ньютон и Лейбниц независимо друг от друга вывели одну и ту же формулу, что подчеркивает ее важность и универсальность.

Формула Ньютона-Лейбница имеет огромное значение для развития науки и техники, позволяя точно вычислять интегралы и решать множество практических задач. Она является одним из фундаментальных понятий математического анализа и неотъемлемой частью образования в области математики и естественных наук.

Если у вас возникли вопросы или проблемы при решении задач на тему формулы Ньютона-Лейбница, вы всегда можете обратиться за помощью на наш форум.

Что нам скажет Википедия?

Пусть на отрезке [a, b] задана интегрируемая функция f. Зададим произвольное значение x ∈ [a, b] и определим новую функцию F(x) = ∫_a^xf(t)dt. Она определена для всех значений x ∈ [a, b], потому что мы знаем, что если существует интеграл от f на [a, b], то существует также интеграл от f на [a, x], где a ≤ x ≤ b. Напомним, что мы считаем по определению F(a) = ∫_a^af(t)dt = 0 (1).

Заметим, что F(b) = ∫_a^bf(t)dt.

Покажем, что F непрерывна на отрезке [a, b]. В самом деле, пусть x, x + h ∈ [a, b]; тогда F(x + h) − F(x) = ∫_a^(x+h)f(t)dt − ∫_a^xf(t)dt = ∫_x^(x+h)f(t)dt.

На рисунке изображён график. Площадь переменной фигуры. Её приращение равно площади фигуры, которая в силу ограниченности, очевидно, стремится к нулю при, независимо от того, будет ли точкой непрерывности или разрыва, например точкой.

Пусть теперь функция f не только интегрируема на [a, x], но непрерывна в точке x ∈ [a, x]. Докажем, что тогда F имеет в этой точке производную, равную F'(x) = f(x) (2).

В самом деле, для указанной точки x:

F(x + h) − F(x) = ∫_x^(x+h)f(t)dt = ∫_x^(x+h)(f(x) + η(t))dt = ∫_x^(x+h)f(x)dt + ∫_x^(x+h)η(t)dt = f(x) + o, h → 0 (3)

Мы положили f(t) = f(x) + η(t), а так как f(x) постоянная относительно t, то ∫_x^(x+h)f(t)dt = f(x) + o.