Узнайте, что такое факториал и как он определяется. Узнайте свойства и комбинаторные интерпретации факториала. Разберем рекуррентную формулу и обобщение факториала на гамма-функцию. Изучите важность и применение факториала в математике. Чему равен 1 факториал?
Cодержание
Факториал — функция, определённая на множестве неотрицательных целых чисел. Название происходит от лат. factorialis — действующий, производящий, умножающий; обозначается n! (произносится эн факториал). Факториал натурального числа n определяется как произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно.
Свойства факториала
Факториал является чрезвычайно быстро растущей функцией. Он растёт быстрее, чем любая показательная функция или любая степенная функция, а также быстрее, чем любая сумма произведений этих функций. Однако степенно-показательная функция n^n растёт быстрее факториала, так же как и большинство двойных степенных, например e^(e^n).
Рекуррентная формула
Факториал может быть задан следующей рекуррентной формулой:
| n | n! |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 6 |
| 4 | 24 |
См. также
Комбинаторная интерпретация
В комбинаторике факториал натурального числа n интерпретируется как количество перестановок (упорядочиваний) множества из n элементов. Например, для множества {A, B, C, D} из 4 элементов существует 4! = 24 перестановки:
- {A, B, C, D}
- {A, B, D, C}
- {A, C, B, D}
- {A, C, D, B}
- и так далее...
Комбинаторная интерпретация факториала подтверждает целесообразность соглашения 0! = 1 — количество перестановок пустого множества равно единице. Кроме того, формула для числа размещений из n элементов по m при n = m обращается в формулу для числа перестановок из n элементов (порядка n), которое равно n!.
Обобщение факториала
Факториал связан с гамма-функцией от целочисленного аргумента соотношением:
Гамма-функция, обобщающая понятие факториала на множество вещественных чисел, позволяет расширить область определения факториала на всю комплексную плоскость, исключая особые точки при n = -1, -2, -3 и т.д.
Таким образом, факториал является важной и широко используемой функцией в различных областях математики. Он не только позволяет вычислять количество перестановок и размещений, но и имеет значительные применения в комбинаторике, математическом анализе, теории чисел и функциональном анализе.
Что нам скажет Википедия?
Факториал натурального числа n определяется как произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно:
Например,
Для n = 0 принимается в качестве соглашения, что 0! = 1.
Факториал активно используется в различных разделах математики: комбинаторике, математическом анализе, теории чисел, функциональном анализе и др.
Факториал является чрезвычайно быстро растущей функцией. Он растёт быстрее, чем любая показательная функция или любая степенная функция, а также быстрее, чем любая сумма произведений этих функций. Однако степенно-показательная функция n^n растёт быстрее факториала, так же как и большинство двойных степенных, например e^(e^n).
Факториал может быть задан следующей рекуррентной формулой:
В комбинаторике факториал натурального числа n интерпретируется как количество перестановок (упорядочиваний) множества из n элементов.
Комбинаторная интерпретация факториала подтверждает целесообразность соглашения 0! = 1 — количество перестановок пустого множества равно единице. Кроме того, формула для числа размещений из n элементов по m при n = m обращается в формулу для числа перестановок из n элементов (порядка n), которое равно n!.
Факториал связан с гамма-функцией от целочисленного аргумента соотношением:
Это же выражение используют для обобщения понятия факториала на множество вещественных чисел. Используя аналитическое продолжение гамма-функции, область определения факториала также расширяют на всю комплексную плоскость, исключая особые точки при n = -1, -2, -3 ….
