Теоремы - математические утверждения, истинность которых устанавливается путём доказательства. Узнайте о роли и значимости теорем в математике и их применении в различных областях науки и техники.
Теоре́ма (др.-греч. Θεώρημα, от др.-греч. Θεώρηώ — рассуждаю) — математическое утверждение, истинность которого устанавливается путём доказательства. Доказательства теорем опираются на ранее доказанные теоремы и общепризнанные утверждения (аксиомы).
Введение
Теорема является логическим следствием аксиом. Доказательство математической теоремы является логическим аргументом для утверждения теоремы, приведенного в соответствии с правилами формальной системы. Доказательство теоремы часто интерпретируется как обоснование истинности утверждения теоремы. В свете требования, чтобы теоремы были доказаны, концепция теоремы является принципиально дедуктивной, в отличие от понятия научного закона, который является экспериментальным.
Многие математические теоремы являются условными утверждениями. В этом случае доказательство выводит заключение из условий, называемых гипотезами или предпосылками. В свете интерпретации доказательства как оправдания истины, заключение часто рассматривается как необходимое следствие гипотез, а именно, что заключение верно в случае, если гипотезы верны, без каких-либо дополнительных предположений.
Роль теорем в математике
Поскольку теоремы лежат в основе математики, они также играют центральную роль в её эстетике. Теоремы часто описываются как «тривиальные», «сложные», или «глубокие» в зависимости от степени сложности и значимости. Они служат основой для развития новых математических теорий и применяются в различных областях, включая физику, экономику, компьютерные науки и другие.
См. также
Примеры известных теорем
Теорема Пифагора
Теорема Пифагора — одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии. Она устанавливает соотношение между сторонами прямоугольного треугольника:
В прямоугольном треугольнике сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы: c2 = a2 + b2.
Теорема Пифагора — это частный случай теоремы косинусов. Это объясняется тем, что косинус 90 градусов равен нулю.
Теорема Фалеса
Теорема Фалеса — это свойство параллельных прямых, которые пересекают две секущие с общей точкой:
Вообще, есть две теоремы Фалеса — общая, на все случаи жизни, и частная — то, что нужно для решения задач на ЕГЭ по математике.
Теорема косинусов
Теорема Пифагора — кайф, легко запомнить, применяем только тогда, когда у нас есть прямоугольный треугольник. Но на самом деле теорема Пифагора работает для любого треугольника, только называется она в этом случае теоремой косинусов:
Квадрат длины стороны треугольника равен сумме квадратов длин других сторон минус удвоенное произведение длин этих сторон на косинус угла между ними: a2 = b2 + c2 – 2bc cos A.
Теорема синусов
Теорема синусов — это формула связи угла с противолежащей ему стороной в треугольнике:
Для любого треугольника справедливы равенства: a/sin A = b/sin B = c/sin C, где R — радиус описанной около треугольника окружности.
Теорема синусов позволяет находить неизвестные углы и стороны треугольника, если известны другие углы и стороны.
Заключение
Теоремы играют важную роль в математике и используются для доказательства истинности математических утверждений. Они являются основой для развития новых теорий и применяются в различных областях науки и техники. Известные теоремы, такие как Теорема Пифагора, Фалеса, косинусов и синусов, широко применяются в геометрии и тригонометрии.
Что нам скажет Википедия?
Теоре́ма (др.-греч. Θεώρημα, от др.-греч. Θεώρηώ — рассуждаю) — математическое утверждение, истинность которого устанавливается путём доказательства. Доказательства теорем опираются на ранее доказанные теоремы и общепризнанные утверждения (аксиомы).
Прокл Диадох в «Комментарии к I книге Начал Евклида» писал, что Зенодот отличает теорему от задачи: «теорема исследует, каков отличительный признак соответствующей ей материи, а задача — каково некое сущее».
Теорема является логическим следствием аксиом. Доказательство математической теоремы является логическим аргументом для утверждения теоремы, приведенного в соответствии с правилами формальной системы. Доказательство теоремы часто интерпретируется как обоснование истинности утверждения теоремы. В свете требования, чтобы теоремы были доказаны, концепция теоремы является принципиально дедуктивной, в отличие от понятия научного закона, который является экспериментальным.
Многие математические теоремы являются условными утверждениями. В этом случае доказательство выводит заключение из условий, называемых гипотезами или предпосылками. В свете интерпретации доказательства как оправдания истины, заключение часто рассматривается как необходимое следствие гипотез, а именно, что заключение верно в случае, если гипотезы верны, без каких-либо дополнительных предположений. Тем не менее, условия могут интерпретироваться по-разному в некоторых дедуктивных системах, в зависимости от значений, присвоенных правилам вывода и символа условия.
Хотя теоремы могут быть написаны в полностью символической форме, например, с помощью исчисления высказываний, они часто выражаются на естественном языке (английском, русском, французском и др.). То же верно и для доказательств, которые часто выражаются в виде логически организованной и четко сформулированной цепи неформальных аргументов, предназначенных для того, чтобы убедить читателей в истинности формулировки теоремы, из каковой цепи в принципе можно построить формальное символическое доказательство. Такие аргументы, как правило, легче проверить, чем чисто символические, и, на самом деле, многие математики отдают предпочтение доказательству, которое не только демонстрирует справедливость теоремы, но и каким-то образом объясняет, почему она, очевидно, верна. В некоторых случаях одной картины достаточно для доказательства теоремы.
Поскольку теоремы лежат в основе математики, они также играют центральную роль в её эстетике. Теоремы часто описываются как «тривиальные», «сложные», «глубокие» или даже «красивые». Эти субъективные суждения варьируются не только от человека к человеку, но и со временем: например, когда доказательство упрощено или лучше понято, теорема, которая когда-то была трудной, может стать тривиальной. С другой стороны, глубокая теорема может быть сформулирована просто, но её доказательство может включать в себя удивительные и тонкие связи между различными областями математики. Особенно известным примером такой теоремы является Великая теорема Ферма.
Формулировка, структура и классификация теорем
