Магический, или волшебный квадрат, представляет собой квадратную таблицу размерности n × n, заполненную n^2 различными числами таким образом, что сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и на обеих диагоналях одинакова. Узнайте о магических квадратах, их типах и истории. Постройте свой собственный магический квадрат и разгадайте головоломки.
Cодержание
Магический, или волшебный квадрат, представляет собой квадратную таблицу размерности n × n, заполненную n^2 различными числами таким образом, что сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и на обеих диагоналях одинакова. Если в квадрате равны суммы чисел только в строках и столбцах, то он называется полумагическим. Нормальным называется магический квадрат, заполненный натуральными числами от 1 до n^2. Магический квадрат называется ассоциативным или симметричным, если сумма любых двух чисел, расположенных симметрично относительно центра квадрата, равна n^2+1.
Существование магических квадратов
Нормальные магические квадраты существуют для всех порядков n ≥ 1, за исключением n = 2, хотя случай n = 1 тривиален — квадрат состоит из одного числа. Минимальный нетривиальный случай показан ниже, он имеет порядок 3.
Магическая константа
Сумма чисел в каждой строке, столбце и на диагоналях называется магической константой, M. Магическая константа нормального волшебного квадрата зависит только от n и определяется формулой:
| 4 + 5 + 6 | = | 15 |
| 7 + 8 + 9 + 10 | = | 34 |
| 11 + 12 + 13 + 14 + 15 | = | 65 |
| 16 + 17 + 18 + 19 + 20 + 21 | = | 111 |
| 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28 | = | 175 |
См. также
История магических квадратов
Магический квадрат — древнекитайского происхождения. Согласно легенде, во времена правления императора Ю (ок. 2200 до н.э.) из вод Хуанхэ (Желтой реки) всплыла священная черепаха, на панцире которой были начертаны таинственные иероглифы (рис. 1,а), и эти знаки известны под названием ло-шу и равносильны магическому квадрату, изображенному на рис. 1,б. В 11 в. о магических квадратах узнали в Индии, а затем в Японии, где в 16 в. магическим квадратам была посвящена обширная литература. Европейцев с магическими квадратами познакомил в 15 в. византийский писатель Э.Мосхопулос. Первым квадратом, придуманным европейцем, считается квадрат А.Дюрера (рис. 2), изображенный на его знаменитой гравюре Меланхолия 1. Дата создания гравюры (1514) указана числами, стоящими в двух центральных клетках нижней строки. Магическим квадратам приписывали различные мистические свойства. В 16 в. Корнелий Генрих Агриппа построил квадраты 3-го, 4-го, 5-го, 6-го, 7-го, 8-го и 9-го порядков, которые были связаны с астрологией 7 планет. Бытовало поверье, что выгравированный на серебре магический квадрат защищает от чумы. Даже сегодня среди атрибутов европейских прорицателей можно увидеть магические квадраты.
Построение магических квадратов
Правила построения магических квадратов делятся на три категории в зависимости от порядка:
- Квадраты порядка 3
- Квадраты порядка 4
- Квадраты порядка n, где n > 4
Решение магических квадратов заключается в заполнении пустых ячеек таким образом, чтобы сумма чисел по любой горизонтали, вертикали и диагонали была одинаковой.
Например, для квадрата порядка 3:
| 2 | 7 | 6 |
| 9 | 5 | 1 |
| 4 | 3 | 8 |
Сумма чисел в каждой строке, столбце и на диагоналях равна 15.
Разгадывать головоломки легче, когда точно понимаешь, что нужно сделать и по каким правилам. Для начала нужно разобраться, что особенного в этих квадратных таблицах. Решить магический квадрат — заполнить пустые ячейки так, чтобы сумма чисел по любой горизонтали, по вертикалям и диагоналям была одинаковой. Сложите числа в решенной задаче в любой строке, в любом столбце, а также по обеим диагоналям.
Что нам скажет Википедия?
Маги́ческий, или волше́бный квадра́т — квадратная таблица n × n, заполненная n^2 различными числами таким образом, что сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и на обеих диагоналях одинакова. Если в квадрате равны суммы чисел только в строках и столбцах, то он называется полумагическим. Нормальным называется магический квадрат, заполненный натуральными числами от 1 до n^2. Магический квадрат называется ассоциативным или симметричным, если сумма любых двух чисел, расположенных симметрично относительно центра квадрата, равна n^2+1.
Нормальные магические квадраты существуют для всех порядков n ≥ 1, за исключением n = 2, хотя случай n = 1 тривиален — квадрат состоит из одного числа. Минимальный нетривиальный случай показан ниже, он имеет порядок 3.
Сумма чисел в каждой строке, столбце и на диагоналях называется магической константой, M. Магическая константа нормального волшебного квадрата зависит только от n и определяется формулой
4 + 5 + 6 = 15 7 + 8 + 9 + 10 = 34 11 + 12 + 13 + 14 + 15 = 65 16 + 17 + 18 + 19 + 20 + 21 = 111 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28 = 175 Исторически значимые магические квадраты:
Ло Шу (кит. трад. 洛書, упр. 洛书, пиньинь luò shū) - единственный нормальный магический квадрат 3×3. Был известен ещё в Древнем Китае, первое изображение на черепаховом панцире датируется 2200 г. до н.э.
В Западноевропейской традиции этот квадрат называется «Печать Сатурна» (Sigillum Saturni). Параметры квадрата: 3, 9, 15, 45 (3х3, 9 ячеек, сумма по всем направлениям 15, сумма всех чисел в квадрате — 45).
Магический квадрат Ян Хуэя (Китай) - математик Ян Хуэй занялся проблемой методов построения магических квадратов. Его исследования были продолжены другими китайскими математиками. Ян Хуэй рассматривал магические квадраты не только третьего, но и больших порядков. Некоторые из его квадратов были достаточно сложны, однако он всегда давал правила для их построения. Он сумел построить магический квадрат шестого порядка, причем последний оказался почти ассоциативным (в нем только две пары центрально противолежащих чисел не дают сумму 37). Сумма всех 36 чисел равна 666.
Магический квадрат 4×4, изображённый на гравюре Альбрехта Дюрера «Меланхолия I», считается самым ранним в европейском искусстве. Сумма чисел на любой горизонтали, вертикали и диагонали равна 34. Эта сумма также встречается во всех угловых квадратах 2×2, в центральном квадрате (10+11+6+7), в квадрате из угловых клеток (16+13+4+1), в квадратах, построенных «ходом коня» (2+12+15+5 и 3+8+14+9), в вершинах прямоугольников, параллельных диагоналям (2+8+15+9 и 3+12+14+5), в прямоугольниках, образованных парами средних клеток на противоположных сторонах (3+2+15+14 и 5+8+9+12). Большинство дополнительных симметрий связано с тем, что сумма любых двух центрально симметрично расположенных чисел равна 17.
Методом построения составных квадратов можно построить на базе данного квадрата восьмого порядка идеальные квадраты порядка n = 8k, k=5,7,9…и порядка n = 8^p, p=2,3,4…
