Что такое бином Ньютона?

Бином Ньютона - это мощный математический инструмент, который позволяет упростить вычисления суммы двух чисел, возведенных в степень. Узнайте, что такое бином Ньютона, его связь с треугольником Паскаля и применение в различных областях науки и техники. Читайте на NOCFN.

Что такое треугольник Паскаля?

Треугольник Паскаля - это одно из названий треугольной таблицы чисел, которая была названа в честь математика Блеза Паскаля. Этот треугольник известен уже тысячу лет назад и работает следующим образом: берется единица в качестве вершины треугольника, а все остальные числа в каждом ряду получаются сложением левых и правых чисел, которые стоят выше. Треугольник Паскаля можно продолжать бесконечно и обладает разными полезными свойствами в математике. Он особенно полезен для биномиальных коэффициентов в биноме Ньютона.

Что такое бином Ньютона?

Бином Ньютона - это формула, которая помогает посчитать сумму двух чисел, возведенную в какую-то степень. Он является обобщенной формулой для разложения двучлена (a+b) в степени n. Например, для квадрата суммы (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2, а для куба суммы (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3. Однако, бином Ньютона может быть применен для любой степени и имеет следующую общую формулу:

(a+b)^n = a^n + (n/1!) * a^(n-1) * b + (n*(n-1)/2!) * a^(n-2) * b^2 + ... + b^n

Здесь факториал (!) - это математическая операция, при которой умножаются все натуральные числа от 1 до заданного числа. Например, 5! = 1 * 2 * 3 * 4 * 5 = 120. Для вычисления коэффициентов бинома в компьютере требуется много оперативной памяти из-за необходимости вычисления факториалов.

Применение треугольника Паскаля в биноме Ньютона

Для упрощения вычислений бинома Ньютона часто используется треугольник Паскаля. Он позволяет легко запомнить множители и их порядок в формуле бинома Ньютона. Биномиальные коэффициенты в биноме Ньютона могут быть вычислены с использованием треугольника Паскаля. Примером является формула ⁿC_k = n! / (k!(n-k)!), где n и k - неотрицательные целые числа.

Обобщения и другие применения

Формула бинома Ньютона является частным случаем разложения функции (1+x)^r в ряд Тейлора, где r может быть произвольным комплексным числом. Бином Ньютона также может быть применен для расчетов в различных областях, таких как физика, экономика, и информатика. Он является важным инструментом для анализа и моделирования различных явлений и процессов.

В заключении, бином Ньютона - это мощный математический инструмент, который позволяет упростить вычисления суммы двух чисел, возведенных в степень. Он находит применение в различных областях науки и техники, и его использование может значительно упростить сложные вычисления и анализ данных.

Что нам скажет Википедия?

Бино́м Нью́то́на — формула для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных, имеющая вид:

где

(	n k	)
≡	nCk = n!/k!(n-k)!

— биномиальные коэффициенты, n — неотрицательное целое число.

В таком виде эта формула была известна ещё индийским и персидским математикам; Ньютон вывел формулу бинома для более общего случая, когда показатель степени — произвольное действительное число (позднее она была распространена и на комплексные числа). В общем случае бином представляет собой бесконечный ряд.

Примеры:

• Для быстрого разложения часто пользуются треугольником Паскаля.

Доказательство:

Чтобы умножить скобки, нужно взять из каждой по одному слагаемому и все полученные произведения сложить. Для получения степени a^kb^n-k нужно из k скобок выбрать a, а из оставшихся n-k выбрать b. Вариантов выбрать a в первый раз столько же, сколько и скобок, то есть n. Затем, соответственно, n-1, и так далее до n-k+1 на k-м шаге. Однако для каждого варианта посчитаются и все его порядковые перестановки, число которых k!. Нормируя, получаем в точности C_n^k. Ниже приводится доказательство по индукции.

Обобщения:

Формула бинома Ньютона является частным случаем разложения функции (1+x)^r в ряд Тейлора:

где r может быть произвольным комплексным числом (в частности, отрицательным или вещественным). Коэффициенты этого разложения находятся по формуле:

При этом ряд

сходится при
|z| ≤ 1

В частности, при z = 1/m и α = x·m получается тождество:

Переходя к пределу при m → ∞ и используя второй замечательный предел lim_{m → ∞} (1 + 1/m)^m = e

, выводим тождество:

которое именно таким образом было впервые получено Эйлером.

Мультиномиальная теорема:

Основная статья: Мультиномиальный коэффициент

Бином Ньютона может быть обобщён до полинома Ньютона — возведения в степень суммы произвольного числа слагаемых:

суть Мультиномиальные коэффициенты. Сумма берётся по всем неотрицательным целым индексам k_j, сумма которых равна n (то есть по всем композициям числа n длины m). При использовании полинома Ньютона считается, что выражения x_j⁰ = 1, даже если x_j = 0.

Мультиномиальная теорема легко доказывается либо индукцией по m, либо из комбинаторных соображений и комбинаторного смысла полиномиального коэффициента.

При m = 2, выражая k₂ = n - k₁, получаем бином Ньютона.

Полные полиномы Белла:

Пусть B_n(a_s) = B_n(a₁, …, a_n) и B₀ = 1, тогда полные полиномы Белла обладают биномиальным разложением:

История:

Долгое время считалось, что для натуральных показателей степени эту формулу, как и треугольник, позволяющий находить коэффициенты, изобрёл Блез Паскаль, описавший её в XVII веке. Однако историки науки обнаружили, что формула была известна ещё китайскому математику Яну Хуэю, жившему в XIII веке, а также персидским математикам ат-Туси (XIII век) и аль-Каши (XV век). В середине XVI века Михаэль Штифель описал биномиальные коэффициенты и также составил их таблицу до степени 18.

Исаак Ньютон около 1665 года обобщил формулу для произвольного показателя степени (дробного, отрицательного и др.). На основе биномиального разложения Ньютон, а позднее Эйлер, выводили всю теорию бесконечных рядов.

В художественной литературе:

В художественной литературе «бином Ньютона» часто фигурирует как синоним чего-то очень сложного (нередко иронически). Например, в романе «Мастер и Маргарита» М. А. Булгакова: «подумаешь, бином Ньютона! Умрёт он через девять месяцев, в феврале будущего года, от рака печени в клинике Первого МГУ, в четвёртой палате».

В повести «Последнее дело Холмса» Шерлок Холмс рассказывает о профессоре Мориарти, в частности, следующее: «…когда ему исполнился 21 год, он написал трактат о биноме Ньютона, завоевавший ему европейскую известность…»