Как считать с помощью треугольника Паскаля?
Для того чтобы считать с помощью треугольника Паскаля, следует знать основные принципы его формирования. В верхней строчке треугольника находится одинокая единица. В остальных строках каждое число является суммой двух своих соседей выше - слева и справа. Если один из соседей отсутствует, он считается равным нулю. Треугольник Паскаля бесконечно простирается вниз, но мы часто используем только первые несколько строк.
Приведу пример первых восьми строк треугольника:
| 1 | |||||||
| 1 | 1 | ||||||
| 1 | 2 | 1 | |||||
| 1 | 3 | 3 | 1 | ||||
| 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | |||
| 1 | 5 | 10 | 10 | 5 | 1 | ||
| 1 | 6 | 15 | 20 | 15 | 6 | 1 | |
| 1 | 7 | 21 | 35 | 35 | 21 | 7 | 1 |
Теперь рассмотрим применение треугольника Паскаля для нахождения коэффициентов в разложении выражения \( (a + b)^n \). В n-й строке треугольника Паскаля находятся эти коэффициенты.
Коэффициент номер \( k + 1 \) в n-й строке называется биномиальным коэффициентом \( C_n^k \).
Например, представим ситуацию, где в магазине есть 7 разных маек. Галя хочет примерить 2 майки, а Аня хочет примерить 5. Какое количество возможностей есть у каждой из девочек для выбора нового комплекта для примерки?
Для Гали количество возможностей будет равно \( C_7^2 = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} = 21 \), а для Ани будет равно \( C_7^5 = \frac{7!}{5!(7-5)!} = \frac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} = 21 \). Таким образом, обе девочки имеют одинаковое количество возможностей, которое составляет 21.