Как обозначают определенный интеграл?

Определенный интеграл обозначается символом ∫ и используется в математическом анализе для вычисления площадей криволинейных фигур, а также для нахождения суммы бесконечного числа бесконечно малых слагаемых. Обозначение введено Лейбницем: f(x)dx, где f(x) - подынтегральная функция, а dx - элемент дифференциала. Символ ∫ является стилизованной начальной буквой латинского слова "Summa".

Определенный интеграл является числом, равным пределу интегральных сумм, которые представляют собой особый вид сумм. Геометрически определенный интеграл выражает площадь "криволинейной трапеции", ограниченной графиком функции.

Для определения определенного интеграла рассматривается функция f(x), определенная на отрезке [a; b]. Отрезок [a; b] может быть разбит на части несколькими произвольными точками, после чего вычисляется сумма площадей маленьких прямоугольников, ограниченных графиком функции и осью Ox. Предельный переход к бесконечно малым прямоугольникам позволяет получить точное значение определенного интеграла.

Определенный интеграл также может быть двойным, тройным, криволинейным или поверхностным, в зависимости от пространства, на котором задана подынтегральная функция. Существуют разные подходы к определению интеграла, такие как интегралы Римана, Лебега, Стилтьеса и другие.

Неопределенный интеграл, или первообразная функции f(x), обозначается символом ∫ без верхних и нижних пределов. Он является обратной операцией к определенному интегралу и позволяет найти функцию, производная которой равна подынтегральной функции f(x).